Oba bratři vstoupil do nacistické strany, ale Rudolf byl o něco blíž ke straně než Adolf. Během války, rostoucí propast mezi bratry dosáhla bodu zlomu po bombovém útoku spojeneckých sil v roce 1943. Adi se svou rodinou vcházeli do protiletadlového krytu, kde již byl Rudolf se svou rodinou. Adi prohlásil "Špinaví parchanti jsou zase tady", Adi tím mínil válečné spojenecké letouny, ale Rudolf byl přesvědčen že tím jeho bratr myslel jeho s rodinou. Když byl později Rudolf chycen a vyslíchán Americkými vojáky. Byl obviněn, že je členem Waffen-SS, Rudolf je přesvědčil, že jej tam vtáhl právě jeho bratr.
Po tomto incidentu se oba bratři ve zlém rozešli v roce 1947. Rudi vytvořením nové firmy, která se nazývá Ruda - od Ru Dolf Da ssler, později byla přejmenována na Puma.
Adi si vytvořil společnost oficiálně zaregistrována jako Adidas AG od Adi Das sler dne 18. srpna 1949. Ačkoli se tvrdí, že název je acronymem pro "All Day I Dream About Sport" Tedy: "Celý den sním o sportu, jméno je vlastně portmanteau tvořen z "Adi" (přezdívka pro Adolfa) a "DAS" (od "Dassler").
Firmy Puma a Adidas vstoupily na trh s velice vyhrocenými vztahy. Toto hořké rivalství po rozdělení Dassler, bylo jistě očekávané. Město Herzogenaurach byla rozděleno v otázce jaké boty kdo nosí, což vedlo k přezdívce "město ohnutých krků", lidé se podíval dolů a zjistili, které boty mají na sobě a s kým díky toho smypatizují.
Ve městě dokonce vznikly dva fotbalové kluby. ASV Herzogenaurach klub podporovaný Adidas a 1. FC Herzogenaurach podporované Rudolfovou obuví. Vždy když k Rudolfovi přišli řemeslníci a viděl že mají boty adidas, vždy je okamžitě poslal do sklepa, aby si vzali několik párů jeho bot Puma. Oba bratři se nikdy nesmířili, a ačkoli jsou oba pohřbeni na stejném hřbitově, jsou umístěni co nejdále od sebe.
V roce 1948, při prvním fotbalovém zápase po druhé světové válce, několik členů West německého národního fotbalového týmu nosili boty Puma, včetně střelce prvního západoněmecké poválečného gólu, Herbert Burdenski. O čtyři roky později, na letních Olympijských hrách v roce 1952, běžec Josy Barthel z Lucemburska vyhrála v závodě na 1500m Pumě její první olympijské zlato v Helsinkách ve Finsku.
V roce 1960 na letních olympijských hrách Puma platí německému sprinteru Armin Harymu, aby měl na sobě boty od Pumy při závodu na 100 metrů sprintu. Hary měl na sobě Pumy, předtím požádal Adidas a požádal Adolfa o platbu, ale Adidas tuto žádost zamítl. Němec získal zlato v pumách, ale pak při ceremoniálu si vzal na nohy boty Adidas s vidinou, že mu zaplatí oba bratři. K šoku obou bratrů Dasslerů. Adi byl ale tak rozzuřený že jakoukoliv spolupráci s ním zakázal.
Několik měsíců před 1970 FIFA World Cup, Armin Dassler a jeho bratranec, Horst Dassler, uzavřeli dohodu, která byla nazvána "Pelé pakt". Tato dohoda, která diktovala to, že Pelé bude mimo soupeření obou firem. A nebude tak dostupný pro propagaci Adidas ani Puma. Nicméně, Pelé splnil žádost zástupce PUMA Hans Henningsena, a pro zvýšení povědomí a značce Puma poté, co obdržel 120.000 dolarů je začal nosit. Při zahájení finálového utkání 1970 World Cup finále, Pelé zastavil rozhodčí s poslední žádostí zavázat si tkaničky, aby miliony televizních diváků zblízka mohli vidět jeho pumy. Toto rozzuřilo Horsta, a budoucí mírové dohody byly všechny odvolány.
O dva roky později, v roce 1972 na letních olympijských hrách poskytla Puma boty pro ugandské 400 metrů překážek sportovci John Akii-Bua. Akii-Bua byl vyhoštěň z Ugandy svou vojenskou vládou, Puma jej zaměstnala v Německu. Nakonec se Akii-Bua do Ugandy vrátil.
V květnu 1989, Rudolfovi synové Armin a Gerd Dassler dohodli prodej svého 72 procentního podílu ve společnosti Puma švýcarské obchodní Cosa Liebermann SA.
Puma se stala veřejnou společností v roce 1986 a následně byl uveden na trhy Börse Mnichov a Frankfurt Stock Exchange.
+ Boty Puma
+ Puma vs. Adidas
+ Současnost Puma
+ Historie Puma v datech
+ Puma sponzoruje